Scheme手習い 第９章 ……もう一度、もう一度、もう一度、……（その３）
Collatzの予想、Ackermann関数、チューリングの停止性問題について触れられます。
ノート：
Collatzの問題
次の関数はCollatzの予想に登場する関数との事。
その前に、one?を以下の様に定義する。
(define one? (lambda (n) (eq? n 1)))
Collatzの予想とは、0でない任意の自然数nに対し
- nが偶数の場合、n/2
- nが奇数の場合、3n + 1
と定義される関数を再帰的に用いて数列を作った時に必ず１に到達すると言う予想。
Collatzの関数を再帰的に適用しnが１になったら1を返して停止する関数がC。この関数は数列を作る訳でも１に達するか否かを返す命題でもない。そこで数列をリストにして返すCollatzSequenceを定義してみる。
(define CollatzSequence (lambda (n) (cond ((one? n) '(1)) (else (cons n (cond ((even? n) (CollatzSequence (/ n 2))) (else (CollatzSequence (+ 1 (* n 3))))))))))
評価してみる。
> (CollatzSequence 5) (5 16 8 4 2 1) > (CollatzSequence 29) (29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1) > (CollatzSequence 27) (27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1) >
途中で元の数よりも大きくなってしまうにも関わらず、どこかで必ず１に収束する数列のどこかに捕まり万事休す。
Ackermann関数
定義は、二つの負でない整数mとnを取り、
本ではnとmが逆になっている。
実際に評価してみる。
> (A 1 0) 2 > (A 1 1) 3 > (A 2 2) 7 >
Aは常に答えを返しますか。
はい、全関数です。
mが3までは答えは出て来るが、mが4になるとnが1でも短時間には計算が終わらない。
Aが常に答えを返す全関数かどうかは俄には分からない。
